Assioma di completezza. def. di insieme limitato superiormente

Prima di enunciare l'assioma di completezza è necessario dare alcune definizioni importanti.
Def. di insieme limitato superiormente
un insieme A sottoinsieme di R si dice limitato superiormente se
Esiste M appartenente a R tale che per ogni a appartenente ad A implica a<=M.
M è chiamato un maggiorante di A

Campo ordinato completo

2 operazioni interne  la somma +  :RxR-->R

                              il prodotto *  :RxR-->R

8 assiomi:

• (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c            associativa  rispetto alla somma (scelgo il raggruppamento)
• (a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c              associativa   rispetto al prodotto
• a+b=b+a                                     commutativa somma
• a*b=b*a                                      commutativa prodotto

      esistenza dell'elemento neutro

• a+0=a                                        lo zero per la somma
• a*1=a                                        l'uno per il prodotto

      esistenza dell'inverso

•  a+(-a)=0                                   l'opposto rispetto alla somma
• a*(1/a)=1                                   il reciproco rispetto al prodotto, qui c'è una piccola novità nel senso che a deve essere diverso da zero

questi sono gli 8 assiomi.

A questi si aggiunge la proprietà distributiva:

• a*(b+c)=a*b+a*c

Tutte queste proprietà definiscono un campo.

Affinchè il campo sia ordinato è necessario che ci sia una relazione di precedenza, ossia le coppie devono essere confrontabili: per ogni a,b di R implica a<=b oppure b>=a.

Completo implica che tutte le coppie del campo siano confrontabili.

Ci sono ordinamenti non completi.

Poi valgono queste proprietà:

1. a<=a
2. a<=b, b<=c implica a<=c  proprietà transitiva
3. a<=b, b<=a implica a=b    proprietà antisimmetrica

                                                                 

quaderno di appunti online di Analisi1

In questo blog pubblicherò i miei appunti del corso di Analisi1 2010-2011